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        第一講 分式方程(組)的解法

        來源:初中數(shù)學(xué)競賽 2005-09-09 16:20:06

        中考真題

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        分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化為整式方程求解,轉(zhuǎn)化的基本方法是去分母、換元,但也要靈活運(yùn)用,注意方程的特點(diǎn)進(jìn)行有效的變形.變形時可能會擴(kuò)大(或縮小)未知數(shù)的取值范圍,故必須驗(yàn)根.

          1 解方程

            

           y=x22x-8,那么原方程為

            

        去分母得

          y(y-15x)(y+9x)(y-15x)y(y9x)=0

          y2-4xy-45x2=0,

          (y+5x)(y-9x)=0,

        所以 y=9xy=-5x

        y=9xx2+2x-8=9x,即x2-7x-8=0,所以x1=-1,x2=8;由y=-5x,得x2+2x-8=-5x,即x27x-8=0,所以x3=-8,x4=1

          經(jīng)檢驗(yàn),它們都是原方程的根.

          2 解方程

             

           

               

        y2-18y+72=0,

        所以 y1=6y2=12

          x2-2x6=0

        此方程無實(shí)數(shù)根.

          

        x2-8x+12=0,

        所以 x1=2x2=6

          經(jīng)檢驗(yàn),x1=2,x2=6是原方程的實(shí)數(shù)根.

          3 解方程

            

          分析與解 我們注意到:各分式的分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù),故可考慮先用多項(xiàng)式除法化簡分式.原方程可變?yōu)?/FONT>

          

        整理得

          

        去分母、整理得

        x9=0,x=-9

          經(jīng)檢驗(yàn)知,x=-9是原方程的根.

          4 解方程

          

          分析與解 方程中各項(xiàng)的分子與分母之差都是1,根據(jù)這一特點(diǎn)把每個分式化為整式和真分式之和,這樣原方程即可化簡.原方程化為

          

          

        所以

               ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)

         

          

          5 解方程

            

          分析與解 注意到方程左邊每個分式的分母中兩個一次因式的差均為常數(shù)1,故可考慮把一個分式拆成兩個分式之差的形式,用拆項(xiàng)相消進(jìn)行化簡.原方程變形為

          

        整理得

          

        去分母得

        x29x-220,

        解得 x1=2,x2=-11

          經(jīng)檢驗(yàn)知,x1=2,x2=-11是原方程的根.

          6 解方程

             

          次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)符號相反,故可考慮用合比定理化簡.原方程變形為

          

        所以

              x=02x2-3x-2=2x2+5x-3

         

          

          7 解方程

            

          分析與解 形式與上例相似.本題中分子與分母只是一次項(xiàng)的符號相反,故可考慮用合分比定理化簡.原方程變形為

           

        當(dāng)x0時,解得x=±1

          經(jīng)檢驗(yàn),x=±1是原方程的根,且x=0也是原方程的根.

          說明 使用合分比定理化簡時,可能發(fā)生增根和失根的現(xiàn)象,需細(xì)致檢驗(yàn).

          

         

          8 解方程

            

           將原方程變形為

             

         

                  

         

           

           

          9 解關(guān)于x的方程

             

           

                   

         

          

          x1=a-2bx2=b-2a代入分母b+x,得a-b2(b-a),所以,當(dāng)ab時,x1=a-2bx2=b-2a都是原方程的根.當(dāng)a=b時,原方程無解.

          10 如果方程

            

        只有一個實(shí)數(shù)根,求a的值及對應(yīng)的原方程的根.

          分析與解 將原方程變形,轉(zhuǎn)化為整式方程后得

        2x2-2x+(a+4)=0

        原方程只有一個實(shí)數(shù)根,因此,方程①的根的情況只能是:(1)方程①有兩個相等的實(shí)數(shù)根,即

        =4-4?2(a+4)=0

         

          (2)方程①有兩個不等的實(shí)數(shù)根,而其中一根使原方程分母為零,即方程①有一個根為02

          (i)當(dāng)x=0時,代入①式得a+4=0,即a=-4.這時方程①的另一個根是x=1(因?yàn)?/FONT>2x2-2x=0,x(x-1)=0,x1=0x21.而x10是增根).它不使分母為零,確是原方程的唯一根.

          (ii)當(dāng)x=2時,代入①式,得

        2×4-2×2(a+4)=0

        a=-8.這時方程①的另一個根是x=-1(因?yàn)?/FONT>2x2-2x-4=0(x-2)(x+1)=0,所以x1=2(增根)x2=-1).它不使分母為零,確是原方程的唯一根.

           因此,若原分式方程只有一個實(shí)數(shù)根時,所求的a的值分別是

        練習(xí)一

          1.填空:

           

            

          (3)如果關(guān)于x的方程

                  

        有增根x=1,則k=____

          

          2.解方程

          

          3.解方程

          

          4.解方程

          

          5.解方程

          

          6.解方程

          

          7m是什么數(shù)值時,方程 

          

        有根?

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