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        2023年初中數(shù)學:三角函數(shù)關(guān)系

        來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2023-06-23 20:16:41

        中考真題

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        1.銳角三角函數(shù)定義

        銳角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),(余割csc)都叫做角A的銳角三角函數(shù)。

        正弦(sin)等于對邊比斜邊;

        余弦(cos)等于鄰邊比斜邊;

        正切(tan)等于對邊比鄰邊;

        余切(cot)等于鄰邊比對邊;

        正割(sec)等于斜邊比鄰邊;

        余割(csc)等于斜邊比對邊。

        2.互余角的三角函數(shù)關(guān)系

        sin(90°-α)=cosα,

        cos(90°-α)=sinα,

        tan(90°-α)=cotα,

        cot(90°-α)=tanα。

        3.同角三角函數(shù)間的關(guān)系

        商數(shù)關(guān)系:sinA/cosA=tanA

        平方關(guān)系:sin^2(A)+cos^2(A)=1

        積的關(guān)系:

        sinA=tanA·cosA

        cosA=cotA·sinA

        cotA=cosA·cscA

        tanA·cotA=1

        倒數(shù)關(guān)系:

        直角三角形ABC中角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊,余切等于鄰邊比對邊

        4.三角函數(shù)值

        (1)特殊角三角函數(shù)值

        (2)0°~90°的任意角的三角函數(shù)值,查三角函數(shù)表

        (3)銳角三角函數(shù)值的變化情況

        (i)銳角三角函數(shù)值都是正值

        (ii)當角度在0°~90°間變化時,正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)

        (iii)當角度在0°≤∠A≤90°間變化時,0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0當角度在0°<∠A<90°間變化時,tanA>0, cotA>0

        5、倒數(shù)關(guān)系:

        sina*csca=1

        cosa*seca=1

        tana*cota=1

        6、商數(shù)關(guān)系

        tana=sina/cosa

        cota=cosa/sina

        7、平方關(guān)系:

        (sina)^2+(cosa)^2=1

        1+(tana)^2=(seca)^2

        1+(cota)^2=(csca)^2

        8、三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系:

        和角公式sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb

        sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

        cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb

        cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

        tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)

        tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)

        cot(a+b)=(cota*cotb-1)/(cota+cotb)

        cot(a-b)=(cota*cotb+1)/(cotb-cota)

        倍角公式

        sin2a=2sina*cosa

        cos2a=(cosa)²-(sina)²=2(cosa)²-1=1-2(sina)²tan2a=2tana/[1-(tana)²]

        sin(3a)=3sina-4(sina)³cos(3a)=4(cosa)³-3cosa

        tan(3a)=[3tana-(tana)³]/[1-3(tana)²]

        積化和差

        sina×cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

        cosa×sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

        cosa×cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

        sina×sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/2

        和差化積sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

        sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]

        cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

        cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

        萬能公式

        令tan(a/2)=t則sina=2t/(1+t^2)

        cosa=(1-t^2)/(1+t^2)

        tana=2t/(1-t^2)

        輔助角公式

        asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r) (r=arctan(b/a)

        cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]

        sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]

        tanr=b/a

        半角公式

        sin^2(a/2)=[1-cos(a)]/2

        cos^2(a/2)=[1+cos(a)]/2

        tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sin(a)/[1+cos(a)]

        誘導公式

        sin(2kπ+α)=sinα

        cos(2kπ+α)=cosα

        tan(2kπ+α)=tanα

        cot(2kπ+α)=cotα

        sec(2kπ+α)=secα

        csc(2kπ+α)=cscα

        sin(π+α)=-sinα

        cos(π+α)=-cosα

        tan(π+α)=tanα

        cot(π+α)=cotα

        sec(π+α)=-secα

        csc(π+α)=-cscα

        sin(-α)=-sinα

        cos(-α)=cosα

        tan(-α)=-tanα

        cot(-α)=-cotα

        sec(-α)=secα

        csc(-α)=-cscα

        sin(π-α)=sinα

        cos(π-α)=-cosα

        tan(π-α)=-tanα

        cot(π-α)=-cotα

        sec(π-α)=-secα

        csc(π-α)=cscα

        sin(α-π)=-sinα

        cos(α-π)=-cosα

        tan(α-π)=tanα

        cot(α-π)=cotα

        sec(α-π)=-secα

        csc(α-π)=-cscα

        sin(2π-α)=-sinα

        cos(2π-α)=cosα

        tan(2π-α)=-tanα

        cot(2π-α)=-cotα

        sec(2π-α)=secα

        csc(2π-α)=-cscα

        sin(π/2+α)=cosα

        cos(π/2+α)=-sinα

        tan(π/2+α)=-cotα

        cot(π/2+α)=-tanα

        sec(π/2+α)=-cscα

        csc(π/2+α)=secα

        sin(π/2-α)=cosα

        cos(π/2-α)=sinα

        tan(π/2-α)=cotα

        cot(π/2-α)=tanα

        sec(π/2-α)=cscα

        csc(π/2-α)=secα

        sin(3π/2+α)=-cosα

        cos(3π/2+α)=sinα

        tan(3π/2+α)=-cotα

        cot(3π/2+α)=-tanα

        sec(3π/2+α)=cscα

        csc(3π/2+α)=-secα

        sin(3π/2-α)=-cosα

        cos(3π/2-α)=-sinα

        tan(3π/2-α)=cotα

        cot(3π/2-α)=tanα

        sec(3π/2-α)=-cscα

        csc(3π/2-α)=-secα

        誘導公式記背訣竅:奇變偶不變,符號看象限(奇偶判斷的是π/2、π等的系數(shù)的奇偶,看象限看的是sin、cos、tan在坐標軸中的+或者-)

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